物理も数学も面白かった
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放物線とは、物を宙に放った時、その物体が描く曲線のことですが、Y = a * X2 + b * X + c といった一般式で表現されます。 物体の落下で考えるなら、aが重力でマイナスの値となるわけです。b や c は物体の初期位置から定まるものです。右に作図と見ながら考えるなら、Y = A (x -B)2 + C の方が解り易いでしょう。BとCが放物線の頂点のX座標とY座標値です。
 

A=B=C= 

パラメータ値の目安:-1≦A≦+1, -1≦B≦+1, -1≦C≦+1 


今日は10月22日

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数式 Y=A・sin(ωt - φ) [補足:縦軸Y、横軸 t ]で表現される図形を sine wave あるいは正弦波と呼びます。少し式について説明しましょう。Aは振幅、ωは角周波数、-φは初期位相です。 作図では縦軸の振幅は-1〜+1、横軸は時間で最大1秒とします。周波数1では、0、+1、0、−1を結んだ一つの波形となり、2では二つの波となります。位相で注意したいことは、単位がラジアンということです。即ち、1周期は3.141592*2となります。 しかし、度の方がなじみがあります。内部で度からラジアンに変換することにします。具体的には、度*3.141592/180の行うことにしました。。

A=ω=φ= 

パラメータ値の目安:0≦A≦+1, 1≦ω≦5, 0≦φ<360 


今日は10月22日

 
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一般的には、楕円は (x/a)2+(y/b)2=1 をプロットすることで描画しますが、前の章で説明したサイン波の数式から、xy座標値を求めることからも描画は可能で す。具体的には、y座標をsin(角度)、x座標をcos(角度)とすると円が描画されるのです。振幅A=1、周波数=1、初期位相=0度と90度で円が描画されますが、これらの値を変えてみると複雑な曲線(リサジュー曲線)が描画されますので、お試し下さい。

X座標:A=ω=φ= y座標:A=ω=φ= 

パラメータ値の目安:0≦A≦+1, 1≦ω<5, 0≦φ<360 


今日は10月22日

 
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楕円は (x/a)2+(y/b)2=1 をプロットすることで描画できると説明しましたが、数学者とは不思議な人達で、その変形である 
(x/a)2-(y/b)2=1 や (x/a)2-(y/b)2=-1 は、どんな図形になるのか知りたくなったようです。

a=b= 

パラメータ値の目安:0<a≦+1, 0<b≦+1 


今日は10月22日

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指数関数とは、y=ax の数式。そして、その逆関数は、
y=logaxとなりますが、 これを対数関数と呼びます。 もう少し解り易い言葉で置き換えてみましょう。最初の関数では、「aのx乗、あるいは a を x 回掛け合わせたら y である。」と表現しています。後者は、「aを何回掛け合わせると x になるかを求める数式である。」 ここで、掛け合わせる回数の変数が、整数である場合は、容易に理解できるかもしれませんが、実数となると直感的には理解するのは困難かもしれません。しかし以下のルールを思い出して下さい。 0)整数であれば、掛け合わせ回数 とする。 1)1/nは n乗根。 2)マイナス数(y=a-x)は、逆数、即ち y=1/axと等価 である。 3)0回の掛け合わせは、底a が何であろうと 1 とする。 これらの決め事を適用することで、x回数部分に四則演算(+-/*)を施せることは、証明されています。一度は確認してみることをお薦めます。  右の描画は、任意の底a に対する指数関数です。 そして対数関数は黄色で描画してみました。

a 

パラメータの目安:-3≦a≦+3


今日は10月22日

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今回
は、遊びの要素もあるゴルフボールの弾道軌跡を描画します。与えられれる数値は、玉の質量(kg)、打出し速度(Vx0,Vy0,Vz0)、空気抵抗(係数)、定常風速(Ax,Az)、重力定数(g)です。ここで座標軸を補足します。X軸:前方、Y軸:高さ、Z軸:横。

大事な力学的仮定は、m(dVx/dt) = -γVx @、m(dVz/dt) = -γVz A、m(dVy/dt) = -mg -γVy B の3式です。@Aは、抵抗による減速率は速度に比例することを表しています。Bは@Aに重力を加えています。これら加速度の等式を時間で2回積分しますと距離、すなわち原点から位置になります。

x = Vx0/k (1 - e-kt) + Axt C、z = Vz0/k (1 - e-kt) + Azt D、y = -(g/k)t + (1/k)(Vy0 + g/k)(1 - e-kt) E 注意:CDEには@ABにあった γ が消えていますが、式をシンプルにするために γ = mk の置換を行っています。k は、単位質量当たりの抵抗係数と読み替えると良いでしょう。

打出し速度 Vx0:前方= Vy0:上方向= Vz0:右方向=  定常風 Ax:追風= Az:右方向風= k:単位質量当たりの抵抗係数 

実際の弾道 は、もっと複雑な動きをします。全域に渡って一定方向且つ同じ速度の風が吹くことはあり得ないし、抵抗はボールの形状によっては時間的な変動もあるでしょう。きっと宇宙空間を飛ぶ人工衛星の方が単純な動きになるでしょう。


  正面   側面
   風向    地上

今日は10月22日